Citlivost dráhových integrací v závislosti na přesnosti střední anomálie

Článek vznikl na podnět z diskusního fóra a zabývá se citlivostí dráhových integrací na přesnosti střední anomálie, konkrétně jak moc se změní dráha tělesa, nabude-li střední anomálie různých hodnot. Jako testovací objekt byla vybrána kometa 78P/Gehrels 2, která vykoná v blízké době dvě blízká setkání s Jupiterem (15.9.2026 a 18.11.2046). Dráhové elementy jsou uvedeny níže a vztahují se k epoše 9.6.2026. Zbývajících 16 těles má naprosto stejnou dráhu jako uvedená kometa, ale mají různou polohu ve své dráze (různou střední anomálii). Integrace byly prováděny pro období 2026 až 2050, pro všechna tělesa se stejnými parametry - integračním krokem 0.5 dne a stejnou, dost vysokou přesností. Kometa 78P byla vybrána hlavně díky dvěma časově nepříliš vzdáleným blízkým přiblížením k Jupiteru, díky malému sklonu a také díky absenci těsných přiblížení k jiným hmotným objektům než právě k Jupiteru (ve sledovaném období).

Dráhové elementy těles

perihel            M            q          e          peri        node        incl      per
2026 06 25.35107   357.764472   2.004521   0.462848   192.79445   210.49468   6.25760   7.208

Ostatní tělesa mají stejné elementy, ale jejich střední anomálie jsou různé a jsou uvedeny níže. Pro osm těles byla k jejich střední anomálii přičtena určitá konstanta, pro osm dalších těles byla stejná konstanta odečtena. (M v seznamu značí skutečnou střední anomálii komety 78P.)

těleso  anomálie                     těleso   anomálie  
1A      M + 0.001 = 357.765472       1B       M - 0.001 = 357.763472
2A      M + 0.005 = 357.769472       2B       M - 0.005 = 357.759472
3A      M + 0.010 = 357.774472       3B       M - 0.010 = 357.754472
4A      M + 0.050 = 357.814472       4B       M - 0.050 = 357.714472
5A      M + 0.100 = 357.864472       5B       M - 0.100 = 357.664472
6A      M + 0.500 = 358.264472       6B       M - 0.500 = 357.264472
7A      M + 1.000 = 358.764472       7B       M - 1.000 = 356.764472
8A      M + 5.000 =   2.764472       8B       M - 5.000 = 352.764472

Přiblížení k Jupiteru

Níže jsou uvedena přiblížení všech 17-ti těles k Jupiteru. Skupina A zahrnuje tělesa, u nichž byla anomálie o konstantu zvětšena, ve skupině B jsou tělesa, u kterých byla naopak anomálie snížena (viz. výše). Dist znamená velikost přiblížení v AU, a delta rozdíl od skutečné hodnoty pro kometu 78P.

přiblížení v roce 2029

těleso   datum         dist     delta     datum         dist     delta

         skupina A                        skupina B
1        2029 09 15.0  0.0182   0.0000    2029 09 15.0  0.0182   0.0000
2        2029 09 15.0  0.0182   0.0000    2029 09 15.0  0.0182   0.0000
3        2029 09 15.0  0.0182   0.0000    2029 09 15.0  0.0182   0.0000
4        2029 09 16.0  0.0183  +0.0001    2029 09 14.5  0.0181  -0.0001
5        2029 09 16.5  0.0184  +0.0002    2029 09 13.5  0.0180  -0.0002
6        2029 09 23.0  0.0197  +0.0015    2029 09 07.5  0.0175  -0.0007
7        2029 10 01.5  0.0218  +0.0036    2029 09 01.0  0.0179  -0.0003
8        2029 12 17.0  0.0470  +0.0288    2029 08 02.5  0.0724  +0.0542

78P      2029 09 15.0   0.0182

přiblížení v roce 2046 *

* u těles 6A, 7A, 8A, 6B, 7B a 8B už nemá cenu o přiblížení v roce 2046 mluvit, protože předchozí přiblížení jim změnilo dráhu tak výrazně oproti kometě 78P, že se s její dráhou už nedají vůbec srovnávat. Hodnota minimální přiblížení je tak vlastně jen minimální vzdáleností od Jupitera v rozmezí několika let kolem roku 2046.

těleso   datum         dist     delta     datum         dist     delta

         skupina A                        skupina B
1        2046 11 24.5  0.2088  -0.0063    2046 11 26.0  0.2215  +0.0064
2        2046 11 20.5  0.1835  -0.0316    2046 11 29.0  0.2471  +0.0320
3        2046 11 15.5  0.1526  -0.0625    2046 12 02.5  0.2794  +0.0643
4        2046 10 06.5  0.0605  -0.1546    2046 12 23.0  0.5404  +0.3253
5        2046 10 18.0  0.3360  +0.1209    2047 01 08.0  0.8678  +0.6527
6       (2043 10 17.5  1.1454  +0.9303)  (2047 03 13.0  3.4318  +3.2167)
7       (2041 03 14.0  0.0040  -0.2111)  (2047 03 13.0  6.1974  +5.9823)
8       (2040 03 11.5  6.0085  +5.7934)  (2042 07 23.0  4.7076  +4.4925)

78P      2046 11 25.0   0.2151

Dráhové elementy

dráhové elementy po přiblížení v roce 2029

Jedná se defakto o elementy vztažené k prvnímu perihelu po inkriminovaném těsném přiblížení.

těleso  perihel        q        e        peri     node     incl   perioda

78P     2032 01 05.0   4.1370   0.2716   111.65   194.18   5.51   13.535

1A      2032 01 05.5   4.1364   0.2717   111.68   194.17   5.51   13.535
2A      2032 01 06.0   4.1342   0.2718   111.81   194.13   5.50   13.527
3A      2032 01 06.5   4.1314   0.2797   111.98   194.07   5.48   13.736
4A      2032 01 12.0   4.1093   0.2730   113.38   193.60   5.29   13.438
5A      2032 01 18.0   4.0821   0.2744   115.16   192.97   5.06   13.434
6A      2032 03 03.5   3.8775   0.2854   132.13   184.43   3.29   12.640
7A      2032 04 17.0   3.6604   0.2974   178.25   147.23   1.58   11.891
8A      2032 12 27.0   2.9573   0.3260   319.58    44.97  10.99    9.191

1B      2032 01 05.0   4.1375   0.2716   111.61   194.19   5.52   13.538
2B      2032 01 04.5   4.1397   0.2715   111.47   194.24   5.54   13.546
3B      2032 01 04.0   4.1425   0.2713   111.30   194.29   5.56   13.554
4B      2031 12 29.5   4.1649   0.2702   109.94   194.71   5.74   13.633
5B      2031 12 22.5   4.1932   0.2772   108.26   195.18   5.97   13.973
6B      2031 10 18.5   4.4274   0.2577    95.34   197.82   7.77   14.566
7B      2031 07 06.5   4.7251   0.2456    79.41   199.50   9.88   15.675
8B      2040 07 28.5   5.0317   0.1216   283.15   202.16  13.96   13.710

Z uvedených údajů je zřejmé, že dráhové elementy prvních tří těles jak ve skupině A, tak ve skupině B jsou ještě relativně přesné, ale odchylky od skutečné anomálie jsou dost malé (+/- 0.001, 0.005 a 0.01). U zbylých těles je už odchylka elementů vysoká.

dráhové elementy po přiblížení v roce 2046

Elementy pro tělesa s výjimkou 6A, 7A, 8A, 6B, 7B a 8B, které se již pohybují po zcela odlišných drahách. Elementy vztaženy k 1.1.2050.

těleso   q        e        peri     node     incl   perioda

78P      4.7768   0.4220   149.24   187.98   6.51   23.758

1A       4.7869   0.4270   150.03   187.90   6.56   24.146
2A       4.8298   0.4488   153.41   187.56   6.80   25.938
3A       4.8891   0.4798   158.17   187.10   7.22   28.813
4A       3.1823   0.2312    19.63   181.11  12.43    8.422
5A       3.7277   0.2367    78.03   183.09   5.88   10.792

1B       4.7669   0.4173   148.46   188.06   6.46   23.398
2B       4.7300   0.3998   145.55   188.37   6.31   22.123
3B       4.6888   0.3815   142.27   188.73   6.17   20.873
4B       4.4907   0.3104   125.54   190.85   5.88   16.618
5B       4.3957   0.2834   115.72   192.36   6.00   15.192

Všechna tělesa již vykazují dost značné odchylky od skutečné dráhy komety 78P, a to i přes to, že prodělaná přiblížení k Jupiteru v roce 2046 byla větší než 0.1 AU (až na těleso 4A).

Grafická znázornění

Na následujících grafech jsou vzdálenosti jednotlivých těles od Jupitera. První sloupec obsahuje tělesa skupiny A, druhý skupiny B, jednotlivé řádky mají vzestupnou tendenci, tzn. že v např. třetím řádku a druhém sloupci je těleso 3B.

Závěr

Z uvedených údajů je jasně vidět, že i malá chyba ve střední anomálii (respektive v době průchodu perihelem) může mít pro tělesa přibližující se ke hmotným objektům, velký vliv. Uvedený případ je sice do jisté míry extrémní, protože všech 17 těles prodělalo alespoň jedno velmi blízké setkání s Jupiterem (méně než 0.1 AU), tedy s planetou, která má největší hmotnost. Je však nutné si uvědomit, že taková přiblížení (a i mnohem těsnější) nejsou žádnou vzácností. Kromě toho se některá tělesa můžou přibližovat současně i k více planetám. Také je nutné si uvědomit, že provedené simulace jsou ve velmi krátkém časovém úseku (cca 25 let). Rovněž je nutné vzít v úvahu, že do vstupních elementů všech těles byla vnesena nepřesnost pouze v jednom parametru, střední anomálii.



Roman Maňák, červen 2004